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2.3 余因子行列

n次正方行列$A$の余因子行列$\tilde{A}$は，その(i,j)要素が$C_{j,i}$と なるようにしたものである．$C_{i,j}$を要素にする行列を$C$とすると， $\tilde{A}$は$C$の転置行列となる．
$\displaystyle \tilde{A}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{ccccc} C_{1,1} & C_{2,1} & C_{3,1} & \cdots ... ...vdots \\ C_{1,n} & C_{2,n} & C_{3,n} & \cdots & C_{n,n} \\ \end{array}\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle C^t$  

まず，余因子を要素とする行列$C$を求めるcofactor-mを 次のように定義する． 
(defun cofactor-m (m)
  (let ((mat (copy-tree m)))
    (dotimes (i (m-row-size mat))
      (dotimes (j (m-col-size mat))
        (m-replace! mat i j (m-cofactor m i j))
        ))
    mat))
ここで，copy-treeは，引数で与えられたリストのコピーを 作ることを行う組込み関数である． 
(setq b '((1 2 3) (4 5 9) (9 8 7)))
((1 2 3) (4 5 9) (9 8 7))
(copy-tree b)
((1 2 3) (4 5 9) (9 8 7))
b
((1 2 3) (4 5 9) (9 8 7))
(copy-tree '(1 2 (3) ((5))))
(1 2 (3) ((5)))
というようになり， 
(defun my-copy-tree (x)
  (cond
      ((atom x) x)
    (t (cons (my-copy-tree (car x))
             (my-copy-tree (cdr x))))))
my-copy-tree
(my-copy-tree b)
((1 2 3) (4 5 9) (9 8 7))
b
((1 2 3) (4 5 9) (9 8 7))
という具合に定義できるものである． m-row-size,m-col-sizeは，行列の行，列の大きさを返す． 
(defun m-row-size (m) (length (car m)))
(defun m-col-size (m) (length m))
(m-replace! m i j v)は，行列m の(i,j)要素をvに する関数である． 
(defun m-replace! (mat i j value)
  (v-replace! (elt mat i) j value)
  mat)
(defun v-replace! (vec i value)
  (let ((v vec))
    (dotimes (j (length v))
      (if (= i j) (rplaca v value))
      (setq v (cdr v)))
    vec))
ここで，rplacaは，元のリストデータのcar部の要素を 付け替えてしまう関数である．このような 元のリストデータを変更してしまう処理は破壊的な操作関数(destructive function)と 呼ばれる． 通常のリスト処理ではcons手続きによってデータを作って ゆくことで，元のデータの構造を変更することは無い． それは，元のデータへのポインタが利用されているだけであって そのポインタからたどってゆけるデータの内部のポインタを 付け替えるということを行わないということである． 新しいリスト構造を作る際には，元のリストの コピーを作りながら作るという形になっていた． たとえば，(append x y)の場合には，xの構造をコピーした ものへyをつなぐことを行う． xがさしているデータには影響は与えない． しかし，xのデータが大きい場合にコピーを作ることが 無駄で，xからたどれるデータ自体を変更してもよい場合には， xからたどるデータの最後をnilへつなぐのではなく， yにつなぐことによってappendされたデータをxの データとすることもできる．このような処理を行う 手続きとしてnconcというものが組み込み関数として 用意されている． 行列データのような場合には，要素数の多いデータに対して その一部のみの要素を変更したいという操作が通常の処理と して行われる．行列をリストで表現した場合に， 変更したい部分だけ変えて残りの行列全体をコピーして 作るということを行うのは無駄が多くなる． そこで通常は，配列データなどはリストで表現せずに その要素の場所を直接指定して，その要素を置き換えて ゆくことを行い，データのコピーは作らない形にする． ここで上げた，m-replace!はリストデータで表現された 行列の要素の場所を指定して，その値を書き換えるという ものである． 
(setq a '((1 2) (4 3)))
((1 2) (4 3))
a
((1 2) (4 3))
(m-replace! a 0 0 10)
((10 2) (4 3))
a
((10 2) (4 3))
(m-replace! a 1 1 30)
((10 2) (4 30))
(m-replace! a 0 1 20)
((10 20) (4 30))
(m-det a)
220.0

(m-cofactor a 0 0)
30
(m-cofactor a 0 1)
-4
(m-cofactor a 1 0)
-20
(m-cofactor a 1 1)
10
(cofactor-m a)
((30 -4) (-20 10))
余因子行列は，cofactor-mで作られる行列の転置行列である． よって，余因子行列を求める関数をadjoint-mとすると， 次のように定義できる． 
(defun adjoint-m (m)
  (transpose (cofactor-m m))
  )

a
((10 20) (4 30))
(cofactor-m a)
((30 -4) (-20 10))
(adjoint-m a)
((30 -20) (-4 10))
b
((1 2 3) (4 5 9) (9 8 7))
(cofactor-m b)
((-37.0 53.0 -13.0) (10.0 -20.0 10.0) (3.0 3.0 -3.0))
(adjoint-m b)
((-37.0 10.0 3.0) (53.0 -20.0 3.0) (-13.0 10.0 -3.0))
(m-det b)
30.0

generated through LaTeX2HTML. M.Inaba 平成18年5月7日