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5.3 カメラキャリブレーション

画像列からカメラの内部変数を求めることをカメラキャリブレーションという． カメラキャリブレーションは，三次元空間におけるある基準座標系中の 複数の点の座標とその点の投影点から射影を定める射影行列を求め， 射影行列から内部変数と外部変数を求めるという２段階の手順で考える． 射影行列$P$は，３ｘ４の行列で，１２個の要素がある．
$\displaystyle P = \left[ \begin{array}{cccc} p_{11} & p_{12} & p_{13} & p_{14} ... ... & p_{23} & p_{24} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & p_{34} \\ \end{array}\right]$     (41)
$\displaystyle \lambda\left[ \begin{array}{c} u \\ v \\ 1 \\ \end{array}\right] = P \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \\ 1 \\ \end{array}\right]$     (42)

カメラの内部変数は５， カメラの外部変数は回転３，並進３で合計１１個である．Pには定数倍の 不定性があるため，$p_34=1$と仮定して残りの１１個の要素を求める． 三次元の点$X,Y,Z$とその投影点$u,v$が既知であれば，
$\displaystyle \left[ \begin{array}{c} u \\ v \\ \end{array}\right] = \left[ \... ... p_{23} \\ p_{24} \\ p_{31} \\ p_{32} \\ p_{33} \\ \end{array}\right] =Bp$      

が成り立つ．射影行列$P$の１１個の要素ベクトル$p$を得るために，$n$個の $(u,v)$と($X,Y,Z)$が得られれば，行列Bを縦にn個並べて$2n \times 11$の 行列を作り，$n$が６以上であれば$p$を求めることができる． このように求めた射影行列$P$は，内部行列と三次元空間での回転と並進を組 み合わせたものであるため，
$\displaystyle P = A \left[ \begin{array}{cccc} & & & \\ & {\rm R} & & {\rm t} \\ & & & \\ \end{array}\right]$     (43)
$\displaystyle = A\left[ \begin{array}{cccc} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_1 \\ ... ...r_{22} & r_{23} & t_2 \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_3 \\ \end{array}\right]$     (44)

となる． ${\rm p}_i = (p_{i1}, p_{i2}, p_{i3})^T$， ${\rm r}_i = (r_{i1}, r_{i2}, r_{i3})^T$と置けば，
$\displaystyle {\rm p}_1 = a_u{\rm r_1} + s{\rm r_2} + u_0{\rm r_3}$     (45)
$\displaystyle {\rm p}_2 = a_v{\rm r_2} + v_0{\rm r_3}$     (46)
$\displaystyle {\rm p}_3 = {\rm r_3}$     (47)

${\rm r}_1$，${\rm r}_2$，${\rm r}_3$が 互いに直交することに注意しながら，${\rm p}_1$と ${\rm p}_3$の外積，${\rm p}_2$と${\rm p}_3$の 外積を計算し，それらの大きさをとる．
$\displaystyle \vert{\rm p}_1 \times {\rm p}_3 \vert = a_u\vert {\rm r}_1 \times {\rm r}_3 \vert + s\vert{\rm r}_2 \times {\rm r}_3 \vert = a_u + s$     (48)
$\displaystyle \vert{\rm p}_2 \times {\rm p}_3 \vert = a_v\vert {\rm r}_2 \times {\rm r}_3 \vert = a_v$     (49)

であることがわかる．次に，${\rm p}_i$の互いの内積を とって，
$\displaystyle {\rm p}_1 \cdot {\rm p}_3 =$     (50)
$\displaystyle (a_u{\rm r}_1 + s{\rm r}_2 + u_0{\rm r}_3) \cdot {\rm r}_3 = u_0$     (51)
$\displaystyle {\rm p}_2 \cdot {\rm p}_3 =$     (52)
$\displaystyle (a_v {\rm r}_2 + v_0{\rm r}_3) \cdot {\rm r}_3 = v_0$     (53)
$\displaystyle {\rm p}_1 \cdot {\rm p}_2 =$     (54)
$\displaystyle (a_u {\rm r}_1 + s{\rm r}_2 + u_0{\rm r}_3) \cdot (a_v{\rm r}_2 + v_0{\rm r}_3) = a_vs + u_0v_0$     (55)

となる．これらの関係式より， ${\rm p}_1， {\rm p}_2， {\rm p}_3$が得られれば， 内部パラメタ $a_v, u_0, v_0，s，a_u$を求めることができる．
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