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5.4 エピポーラ幾何

画像間の幾何関係を┘團檗璽藉ｰ燭箸いΑタA HREF="node25.html#epipolar-geometry">16のよ うに，２つのカメラとそれぞれの撮像面に対して，それぞれのカメラ中心を他 方の撮像面に投影した点を┘團檗璽epipole)と呼び，撮像面上で注 視対象点の投影点とエピポールを通る直線を┘團檗璽蘋epipolar line)と呼ぶ．２つのカメラ中心と注視対象点を通る面を┘團檗璽虧 (epipolar plane)と呼ぶ．両眼立体視において，注視対象を決めた時に，注視 対象の対応点を探す処理は，他方の投影面上のエピポーラ線上を１次元探索 することになる．
図 16: エピポーラ幾何
\includegraphics[width=7cm]{/home/inaba/text/iwanami/inaba/chap4/epipolargeometry.eps}
注目する点の２つのカメラ座標系での座標を ${x_1}=(X_1,Y_1,Z_1)$， ${ x_2}=(X_2,Y_2,Z_2)$とし，２つの投影面への投影点を$(u_1,v_2)$，$(u_1,v_2)$とすると， ２つのカメラ中心からの対象点までのベクトル${x_1}$と${x_2}$が エピポーラ面上にあることから，それらの外積は0になる． ２つのカメラ座標系間の回転と並進を${\rm R_{12}}$，${t_{12}}$で表すと，
$\displaystyle {x_1}^T ({\rm t_{12}} \times ({\rm R_{12}} {x_2} + {t_{12}})) = 0$     (56)

一般に，ベクトル${x}$との外積は， ３ｘ３の歪対称行列$[{x \times}]$
$\displaystyle [{x \times}] = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -x_3 & x_2 \\ x_3 & 0 & -x_1 \\ -x_2 & x_1 & 0 \\ \end{array}\right]$     (57)

の掛け算になり，エピポーラ面に載る条件は，
$\displaystyle {x_1}^T ({t_{12}} \times ({\rm R_{12}} {x_2} + {t_{12}}))$      
$\displaystyle = {x_1}^T [{t_{12} \times}] ({\rm R_{12}} {x_2} + {t_{12}}) = {x_1}^T {\rm E} {x_2} = 0$     (58)

となる． この方程式は，┘團檗璽虔cｺepipolar equation) と呼ば れる．行列 ${\rm E}=[{t_{12} \times}]{\rm R_{12}}$は靄楾堽 (E行列，essential matrix)と呼ぶ．デジタル画像座標系での座標 ${ m_1}=(u_1,v_1,1)$と ${m_2}=(u_2,v_2,1)$が与えられた時， ${ m_1}=A_1{x_1}$, ${m_2}=A_2{x_2}$より， $F = A_1^{-1}{\rm E}(A_2)^{-1}$とおけば，
$\displaystyle {x_1}^T {\rm E} {x_2} = {m_1}^T {\rm F} {m_2} = 0$     (59)

となる．この行列${\rm F}$は霑湛堽F行列, fundamental matrix)と呼ばれる． ２つのカメラ座標系の配置が決まれば，これらの基本行列または基礎行列が決まり， エピポールの場所も一意に定まる．そして，注視点が与えられれば，その 投影点に対応するエピポーラ線も求めることができる．
generated through LaTeX2HTML. M.Inaba 平成18年5月7日